Di suatu ruangan terdapat 30 orang ... bagaimana peluang jika ada dua orang diantara mereka yang memiliki tanggal lahir yang sama? Asumsikan ada 365 hari dalam 1 tahun.
Kita pasti berpikir "Jika ada 30 orang dan 365 hari maka 30/365 pasti jawabannya dan 30/365= 0,08... "
Tapi ternyata tidak lho!
Peluangnya justru lebih tinggi dari yang kita pikirkan. Kemungkinan besar ada dua orang yang tanggal ulang tahunnya sama di ruangan itu.
Hal ini dikarenakan kita harus membandingkan seorang dengan yang lainnya.
dan dengan jumlah 30 orang kita memiliki 435 perbandingan
Tapi kita harus berhati-hati jangan sampai kelebihan hitung saat menghitung peluangnya.
Jadi mari kita coba contoh yang lebih sederhana.
Teman-teman dan Angka Acak
4 sekawan (Elsa, Juno, Hendrik, Vivit) masing-masing memilih satu angka secara acak dari 1 sampai 5. Berapa peluang diantara mereka akan memilih angka yang sama?
Pertama, Berapa peluang Elsa dan Juno memilih angka yang sama?
Elsa membandingkan angka pilihannya dengan angka Juno. Itu ada 1 diantara 5 kemungkinan.
Kita gunakan diagram pohon:
Catatan: "Ya" dan "Tidak" bila dijumlahkan hasilnya 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 =1)
Sekarang kita tambah dengan angka pilihan Hendrik...
Tapi ada dua kasus untuk kita perhitungkan:
- Jika Elsa dan Juno memilih angka yang sama, maka Hendrik hanya memiliki 1 angka untuk perbandingan.
- Jika pilihan angka Elsa dan Juno tidak sama, maka Hendrik memiliki 2 angka perbandingan.
Untuk lebih jelasnya:
Pada baris pertama (angka pilihan Elsa dan Juno sama) kita telah mendapatkan sebuah perbandingan dengan peluang 1/5.
Tapi jika "angka pilihan Elsa dan Juno tidak sama" ada 2/5 peluang angka pilihan Hendrik untuk sama (bertentangan dengan Elsa dan Juno).
Kita bisa mengkombinasikan peluang dengan mengalikan peluang yang ada:
- Jika kita mengikuti jalur "Tidak" "Ya"... ada 4/5 peluang Tidak dan 2/5 peluang Ya:
(4/5) x (2/5) = 8/25
- Jika kita mengikuti jalur "Tidak" "Tidak"... ada 4/5 peluang Tidak dan 3/5 peluang Ya:
(4/5) x (3/5) = 12/25
Perhatikan, jika kita menjumlahkan semua peluang yang ada hasilnya 1. (Silahkan dicek kembali siapa tahu perhitungan saya salah).
(5/25) + (8/25) + (12/25) = 25/25 = 1
Apa yang terjadi bila kita tambahkan pilihan Vivit?
Prinsipnya sama, cuma lebih rumit:
Ok, jadi peluang "Ya" adalah 101/125:
Jawaban: 101/125
Tapi, coba kita perhatikan sekali lagi, ada hal yang menarik ... bila kita mengikuti jalur "Tidak" kita dapat melewati semua perhitungan di atas!
Peluang tidak ada angka yang sama adalah:
(4/5) x (3/5) x (2/5) = 24/125
Sehingga peluang adanya pilihan angka yang sama adalah:
1 - 24/125 = 101/125
(dan kita tidak perlu capek-capek membuat diagram pohon)
Itu adalah trik yang populer di peluang:
Akan lebih mudah jika kita mengerjakan bagian "Tidak ada kejadian"nya terlebih dahulu
Kita kembali lagi ke puzzle yang pertama, 30 orang dalam satu ruangan.
Contoh: Jika kita pilih 6 orang dari mereka, berapakah peluang mereka merayakan ulang tahun di bulan yang sama?
Dari kejadian "tidak ada kejadian yang sama" kita dapatkan untuk:
- 2 orang: (11/12)
- 3 orang: (11/12) x (10/12)
- 4 orang: (11/12) x (10/12) x (9/12)
- 5 orang: (11/12) x (10/12) x (9/12) x (8/12)
- 6 orang: (11/12) x (10/12) x (9/12) x (8/12) x (7/12)
Jadi peluang "tidak ada kejadian yang sama" adalah:
Sumber:
http://mathisfun.com
(11/12) x (10/12) x (9/12) x (8/12) x (7/12) = 0,22...
Sehingga kita dapat menentukan peluang "ada kejadian yang sama":
1 - 0,22... = 0,78...
Jadi, ada 78% peluang di antara 6 orang tersebut merayakan ulang tahun di bulan yang sama.
Peluang "tidak ada yang tanggal lahirnya sama"
Sekarang kita coba pecahkan puzzle kita!
Di suatu ruangan terdapat 30 orang ... bagaimana peluang jika ada dua orang diantara mereka yang memiliki tanggal lahir yang sama? Asumsikan ada 365 hari dalam 1 tahun.
Ini sama seperti contoh-contoh yang sudah kita kerjakan, hanya saja angkanya lebih besar.
Peluang "tidak ada yang tanggal lahirnya sama"
(364/365) x (363/365) x (362/365) x (361/365) x ... x (336/365) = 0,294...
(saya menghitung dengan menggunakan excel)
Dan peluang "ada yang tanggal lahirnya sama"
Peluang ada yang berbagi hari ulang tahun = 1 - 0,294... = 0,706...
atau 70.6% peluang!
Faktanya peluang dari 23 orang adalah 50%
dan untuk 57 orang peluangnya 99% (hampir pasti!)
Tugas!
Tidak percaya? Coba sekarang kalian data teman sekelas kalian, dan buktikan bahwa puzzle ini benar.
NB: Kenyataannya tanggal kelahiran tidaklah benar-benar acak (random). Di Indonesia banyak bayi lahir di bulan Juli (15,9 %) dan yang paling sedikit di bulan Februari (6,4 %). Di Amerika Serikat bayi paling banyak dilahirkan justru di bulan September, Agustus, Juli dan di musim semi (Maret, April, Mei).
Mungkin salah satu alasannya, dokter rumah sakit biasanya libur di akhir pekan, makanya banyak ibu yang mempercepat bahkan menunda kelahiran anaknya. Hmn... Menarik bukan?
Sumber:
http://mathisfun.com
0 comments:
Posting Komentar