Peluang: Berbagi Hari Ulang Tahun

Puzzle ini cukup rumit, jadi kalian diharapkan sudah memahami betul tentang peluang sebelum mengerjakan puzzle ini.

Di suatu ruangan terdapat 30 orang ... bagaimana peluang jika ada dua orang diantara mereka yang memiliki tanggal lahir yang sama? Asumsikan ada 365 hari dalam 1 tahun.

Kita pasti berpikir "Jika ada 30 orang dan 365 hari maka 30/365 pasti jawabannya dan 30/365= 0,08... "

Tapi ternyata tidak lho!

Peluangnya justru lebih tinggi dari yang kita pikirkan. Kemungkinan besar ada dua orang yang tanggal ulang tahunnya sama di ruangan itu.

Hal ini dikarenakan kita harus membandingkan seorang dengan yang lainnya.

dan dengan jumlah 30 orang kita memiliki 435 perbandingan 

Tapi kita harus berhati-hati jangan sampai kelebihan hitung saat menghitung peluangnya.

Jadi mari kita coba contoh yang lebih sederhana.

Teman-teman dan Angka Acak

4 sekawan (Elsa, Juno, Hendrik, Vivit) masing-masing memilih satu angka secara acak dari 1 sampai 5. Berapa peluang diantara mereka akan memilih angka yang sama?

Pertama, Berapa peluang Elsa dan Juno memilih angka yang sama?

Elsa membandingkan angka pilihannya dengan angka Juno. Itu ada 1 diantara 5 kemungkinan.

Kita gunakan diagram pohon:

Catatan: "Ya" dan "Tidak" bila dijumlahkan hasilnya 1

(1/5 + 4/5 = 5/5 =1)

Sekarang kita tambah dengan angka pilihan Hendrik...

Tapi ada dua kasus untuk kita perhitungkan:

• Jika Elsa dan Juno memilih angka yang sama, maka Hendrik hanya memiliki 1 angka untuk perbandingan.
• Jika pilihan angka Elsa dan Juno tidak sama, maka Hendrik memiliki 2 angka perbandingan.

Untuk lebih jelasnya:

Pada baris pertama (angka pilihan Elsa dan Juno sama) kita telah mendapatkan sebuah perbandingan dengan peluang 1/5.

Tapi jika "angka pilihan Elsa dan Juno tidak sama" ada 2/5 peluang angka pilihan Hendrik untuk sama (bertentangan dengan Elsa dan Juno).

Kita bisa mengkombinasikan peluang dengan mengalikan peluang yang ada:

• Jika kita mengikuti jalur "Tidak" "Ya"... ada 4/5 peluang Tidak dan 2/5 peluang Ya:

(4/5) x (2/5) = 8/25

• Jika kita mengikuti jalur "Tidak" "Tidak"... ada 4/5 peluang Tidak dan 3/5 peluang Ya:

(4/5) x (3/5) = 12/25

Perhatikan, jika kita menjumlahkan semua peluang yang ada hasilnya 1. (Silahkan dicek kembali siapa tahu perhitungan saya salah).

(5/25) + (8/25) + (12/25) = 25/25 = 1

Apa yang terjadi bila kita tambahkan pilihan Vivit?

Prinsipnya sama, cuma lebih rumit:

Ok, jadi peluang "Ya" adalah 101/125:

Jawaban: 101/125

Tapi, coba kita perhatikan sekali lagi, ada hal yang menarik ... bila kita mengikuti jalur "Tidak" kita dapat melewati semua perhitungan di atas!

Peluang tidak ada angka yang sama adalah:

(4/5) x (3/5) x (2/5) = 24/125

Sehingga peluang adanya pilihan angka yang sama adalah: 

1 - 24/125 = 101/125

(dan kita tidak perlu capek-capek membuat diagram pohon)

Itu adalah trik yang populer di peluang:

Akan lebih mudah jika kita mengerjakan bagian "Tidak ada kejadian"nya terlebih dahulu

Kita kembali lagi ke puzzle yang pertama, 30 orang dalam satu ruangan.

Contoh: Jika kita pilih 6 orang dari mereka, berapakah peluang mereka merayakan ulang tahun di bulan yang sama?

Dari kejadian "tidak ada kejadian yang sama" kita dapatkan untuk:

• 2 orang: (11/12)
• 3 orang: (11/12) x (10/12)
• 4 orang: (11/12) x (10/12) x (9/12)
• 5 orang: (11/12) x (10/12) x (9/12) x (8/12)
• 6 orang: (11/12) x (10/12) x (9/12) x (8/12) x (7/12)

Jadi peluang "tidak ada kejadian yang sama" adalah:

(11/12) x (10/12) x (9/12) x (8/12) x (7/12) = 0,22...

Sehingga kita dapat menentukan peluang "ada kejadian yang sama":

1 - 0,22... = 0,78...

Jadi, ada 78% peluang di antara 6 orang tersebut merayakan ulang tahun di bulan yang sama.

Sekarang kita coba pecahkan puzzle kita! 

Di suatu ruangan terdapat 30 orang ... bagaimana peluang jika ada dua orang diantara mereka yang memiliki tanggal lahir yang sama? Asumsikan ada 365 hari dalam 1 tahun.

Ini sama seperti contoh-contoh yang sudah kita kerjakan, hanya saja angkanya lebih besar.

Peluang "tidak ada yang tanggal lahirnya sama"

(364/365) x (363/365) x (362/365) x (361/365) x ... x (336/365) = 0,294...

(saya menghitung dengan menggunakan excel)

Dan peluang "ada yang tanggal lahirnya sama"

Peluang ada yang berbagi hari ulang tahun = 1 - 0,294... = 0,706...

atau 70.6% peluang!

Faktanya peluang dari 23 orang adalah 50%

dan untuk 57 orang peluangnya 99% (hampir pasti!)

Tugas!

Tidak percaya? Coba sekarang kalian data teman sekelas kalian, dan buktikan bahwa puzzle ini benar.

NB: Kenyataannya tanggal kelahiran tidaklah benar-benar acak (random). Di Indonesia banyak bayi lahir di bulan Juli (15,9 %) dan yang paling sedikit di bulan Februari (6,4 %). Di Amerika Serikat bayi paling banyak dilahirkan justru di bulan September, Agustus, Juli dan di musim semi (Maret, April, Mei). 

Mungkin salah satu alasannya, dokter rumah sakit biasanya libur di akhir pekan, makanya banyak ibu yang mempercepat bahkan menunda kelahiran anaknya. Hmn... Menarik bukan?  

Sumber:
http://mathisfun.com

http://blog.harmaji.com/2012/11/statistik-menarik-penduduk-indonesia.html
http://www.babycenter.com/0_surprising-facts-about-birth-in-the-united-states_1372273.bc

Read More

Math Puzzle: Pemecahan Teka-Teki Segitiga Misteri

Saya rasa kita semua sudah sering melihat teka-teki segitiga ini, tapi tidak semua tahu jawabannya. Mengapa segitiga yang sekilas hanya berpindah posisi namun dapat memiliki daerah yang hilang?

Aneh bukan?

Teka teki persegi yang hilang adalah sebuah ilusi mata saja, karena jika diperhatikan dan diteliti secara seksama, akan telihat kekeliruannya. 
Luas segitiga tersebut adalah 32,5 satuan, tapi bila dihitung masing-masing bidang yang membentuk segitiga tersebut adalah sebagai berikut:

• segitiga berwarna merah luasnya 12 satuan;
• segitiga berwarna biru luasnya 5 satuan;
• bidang berwarna kuning luasnya 7 satuan; dan
• bidang berwarna hijau luasnya 8 satuan.

Jika dijumlahkan keseluruhan, maka luasnya adalah 32 satuan. Lalu kemana 0,5 satuan lagi?

Sebenarnya, antara segitiga awal dengan segitiga yang hilang 1 kotak satuannya adalah bidang yang berbeda. Jika dilihat dari segitiga yang berwana merah yang memiliki rasio 3:8 (1:2,6667), maka tidaklah sebangun segitiga tersebut dengan segitiga yang berwarna biru yang memiliki rasio 2:5 (1:2,5000). Dengan demikian, segitiga pada gambar di atas memiliki sisi miring yang bengkok (perhatikan titik dimana segitiga berwarna merah dan segitiga berwarna biru bertemu).

Masih tidak percaya?

Source: wikipedia, http://gmath09.blogspot.com/

Read More

Math Puzzle: Si Kembar Tiga

Bu Monik mempunyai anak kembar tiga identik, yaitu Cindy, Chelsea, Caroline. Putri yang tertua adalah Cindy yang selalu jujur, putri kedua adalah Chelsea yang suka berbohong dan yang bungsu adalah Caroline yang kadang jujur dan kadang suka berbohong juga.

Suatu hari Pak Juno, teman lama Bu Monik datang berkunjung dan tidak dapat mengenali si kembar tiga yang duduk bersebelahan di sofa. Jadi Pak Juno menanyai mereka masing-masing satu pertanyaan.

Pak Juno bertanya pada si kembar yang duduk paling kiri, "Siapa yang duduk di tengah?" dan jawaban yang dia dapatkan "Oh, dia Sarah."

Lalu Pak Juno bertanya pada si kembar yang duduk di tengah, "Siapa namamu?" dan responnya "Aku Caroline."

Pak Juno kemudian bertanya pada si kembar yang duduk di paling kanan, "Siapa yang duduk di tengah?" lalu dia menjawab "Dia Chelsea."

Pak Juno jadi bingung karena menerima jawaban yang berbeda-beda.

Jadi, dari mereka yang duduk di sofa siapa yang siapa? 

Read More

Math Puzzle: Umur yang Sebenarnya

Coba pecahkan puzzle ini!

Andre, Bobi, Chelsea, Dodo, dan Elin merupakan rekan sekantor yang lahir di tanggal yang sama yaitu 19 Juni namun di tahun yang berbeda.

Hari ini tanggal 19 Juni, dan kantor mereka merayakan ulang tahun mereka berlima di restoran dekat kantornya, lalu mereka saling mengobrol:

• Dodi berkata kepada Bobi: "Saya 9 tahun lebih tua dari Elin."
• Elin berkata kepada Bobi: "Saya 7 tahun lebih muda dari Andre."
• Andre berkata kepada Bobi: "Umur Anda tepat 70% lebih tua daripada umur saya."
• Bobi berkata kepada Chelsea: "Elin lebih muda dari Anda."
• Chelsea berkata kepada Dodo: "Umur kita hanya berbeda 6 tahun."
• Chelsea berkata kepada Andre: "Saya 10 tahun lebih tua dari Anda."
• Chelsea berkata kepada Andre: "Bobi lebih muda dari Dodo."
• Bobi berkata kepada Chelsea: "Perbedaan umur Anda dan Dodo sama dengan perbedaan umur Dodo dan Elin".

Boss yang mengetahui umur mereka sejak awal mendengar percakapan mereka, dan tahu sebagian ada yang berbohong. Yang mengatakan tentang lebih tua adalah benar, tapi saat mereka menceritakan yang lebih muda itu bohong.

Berapa umur mereka masing- masing?

Read More