Kombinasi: Subset

Aktivitas kita kali ini adalah menginvestigasi berapa banyak subset yang dimiliki oleh sebuah himpunan.

Apa itu Subset?

Subset disebut juga Himpunan Bagian, dimana merupakan sebuah himpunan yang merupakan bagian dari himpunan lain. 

A subset is a set contained in another set

Untuk lebih jelasnya, simak penjelasan di bawah ini.

Pada siang hari yang terik, kita pergi ke mini market untuk membeli es krim. Tersedia pilihan rasa es krim seperti di bawah ini:

{coklat, vanila, stroberi}

Kalian bisa memilih salah satu rasa {coklat}, {vanila}, atau {stroberi} 

atau dua rasa: {coklat, stroberi}, {stroberi, vanila}, atau {coklat, vanila},

atau ketiganya (wow... rakus sekali)

atau kalian malah tidak jadi membeli (lupa bawa uang misalnya), yang artinya kalian memiliki "himpunan kosong": { }

Contoh: Himpunan {Andre, Brian, Cindy, Danu}

memiliki himpunan bagian:

• {Andre}

• {Brian}

• dan seterusnya...

himpunan bagian (subset) lainnya:

• {Andre, Brian}

• {Andre, Cindy}

• {Brian, Danu}

• dan seterusnya...

ada juga:

• {Andre, Brian, Cindy}

• {Andre, Cindy, Danu}

• dan seterusnya...

himpunan bagian (subset)nya bisa juga:

• seluruh himpunan (whole set): {Andre, Brian, Cindy, Danu}

• himpunan kosong (empty set): { }

Sekarang kita mulai dengan Himpunan Kosong.

Himpunan Kosong

Ada berapa subset yang dimiliki himpunan kosong?

Kita bisa menjawab:

• seluruh himpunan: { }

• himpunan kosong: { }

Tunggu dulu, seluruh himpunan dan himpunan kosongnya sama.

Jadi himpunan kosong hanya memiliki 1 subset (himpunan bagian) yaitu dirinya sendiri.

Sama seperti kita ditanya saat membeli di toko, "Tidak ada barang yang tersedia, jadi apa yang Anda pilih?". Jawabannya sudah pasti "Tidak ada". Hanya itu pilihan yang ada kan?

Himpunan Satu Elemen

Himpunannya bisa apa saja, tapi kita sebut saja:

{durian}

Ada berapa banyak subset dari himpunan {durian}?

• seluruh himpunan: {durian}

• himpunan kosong: { }

Hanya itu, kita hanya bisa memilih satu elemen, atau tidak memilih sama sekali.

Jadi, himpunan yang hanya terdiri dari 1 elemen hanya memiliki 2 subset.

Himpunan Dua Elemen

Mari kita tambahkan elemen lain pada himpunan sebelumnya:

{durian, leci}

Ada berapa banyak subset dari himpunan {durian, leci}?

Bisa saja {durian}, atau {leci}, dan jangan lupa

• seluruh himpunan: {durian, leci}

• himpunan kosong: { }

Hanya itu, himpunan 2 elemen memiliki 4 subset.

Himpunan Tiga Elemen

Bagaimana dengan:

{duku, durian, leci}

OK, kita sekarang lebih sistematis sekarang, dan subset dari banyaknya elemen yang dimiliki adalah:

Subset dengan satu elemen: {duku}, {durian}, atau {leci}

Subset dengan dua elemen: {duku, durian}, {duku, leci}, {durian, leci}

dan:

• seluruh himpunan: {duku, durian, leci}

• himpunan kosong: { }

Jika disusun dalam tabel: 

	List	Jumlah subset
tidak ada elemen	{ }	1
satu elemen	{duku}, {durian}, {leci}	3
dua elemen	{duku, durian}, {duku, leci}, {durian, leci}	3
tiga elemen	{duku, durian, leci}	1
Total:		8

(Catatan: Dapatkah kalian melihat sebuah pola pada angka-angka tersebut?)

Himpunan Empat Elemen (Giliran Kalian)

Cobalah dengan menggunakan tabel juga:

{duku, durian, kurma, leci}

Dan sekarang:

	List	Jumlah subsets
tidak ada elemen	{ }
satu elemen
dua elemen
tiga elemen
empat elemen
lima elemen
Total:

(Catatan: Jika kalian dapat menjawab ini dengan tepat, kalian pasti akan menemukan sebuah pola pada angka-angka yang kalian dapatkan.)

Himpunan Lima Elemen

Coba yang satu ini:

{anggur, duku, durian, kurma, leci}

Tabel untuk kalian.

	List	Jumlah subset
tidak ada elemen	{ }
satu elemen
dua elemen
tiga elemen
empat elemen
Total:

(Adakah kalian temukan pola?)

Himpunan Enam Elemen

Dan sekarang:

{anggur, duku, durian, kurma, leci, mangga}

Sekarang kalian tidak perlu menggunakan tabel lagi, karena ...

     ... harusnya kalian sudah memahami polanya dan menemukan jawaban tanpa tabel

Penggandaan (Doubling)

Satu hal yang perlu kita perhatikan adalah:

Sebuah himpunan dengan elemen n memiliki subset sebanyak 2ⁿ

 A set with n elements has 2ⁿ subsets

Jadi kalian seharusnya sudah bisa menjawab:

• Ada berapa subset dari himpunan 6 elemen? _____________

• Ada berapa subset dari himpunan 7 elemen? _____________

Pola Lain

Mari kita review berapa banyak subset yang dimiliki setiap ukuran elemen:

• Himpunan kosong hanya punya 1 subset: 1

• Himpunan dengan satu elemen memiliki 1 subset yang merupakan himpunan kosong dan 1 subset dengan satu elemen: 1 1

• Himpunan dengan dua elemen memiliki 1 subset yang merupakan himpunan kosong dan 2 subset dengan satu elemen dan 1 subset dengan dua elemen: 1 2 1

• Himpunan dengan tiga elemen memiliki 1 subset yang merupakan himpunan kosong dan 3 subset dengan satu elemen dan 3 subset dengan dua elemen dan 1 subset dengan tiga elemen: 1 3 3 1

• dan seterusnya...

Apakah kalian mengenal pola ini?Ini adalah Segitiga Pascal!

Segitiga Pascal akan sangat berguna, jika kita ingin mencari pola dan jumlah subset.

Contoh: Dari himpunan {anggur, duku, durian, kurma, leci} kita urutkan dengan mengambil tiga elemen:

Catatan: baris dimulai dari 0, begitu juga dengan kolom.

• {anggur, duku, durian}

• {anggur, duku, kurma}

• {anggur, duku, leci}

• {anggur, durian, leci}

Mengapa cuma ada 4 subset, bagaimana jawaban yang tepat?

Ketika kita memilih 3 dari 5 elemen, kita lihat baris 5, dan kolom 3 dari Segitiga Pascal di atas (Ingat, hitung mulai dari 0) dan ternyata kita mendapatkan 10 subset.

Jawaban yang tepat adalah: {anggur, duku, durian} {anggur, duku, kurma} {anggur, duku, leci} {anggur, durian, kurma} {anggur, durian, leci} {anggur, kurma, leci} {duku, durian, kurma} {duku, durian, leci} {duku, kurma, leci} {durian, kurma, leci}

Perhitungan

Adakah cara yang lebih praktis dalam menghitung angka 1, 4, 6, 4, dan 1 (selain melihat Segitiga Pascal)?

Ya, kita dapat mencari dengan Kombinasi. 

Dari himpunan 4 elemen kita dapat menemukan:

• Banyak cara untuk memilih 0 elemen dari 4 = ⁴C₀ = 1

• Banyak cara untuk memilih 1 elemen dari 4  = ⁴C₁ = 4

• Banyak cara untuk memilih 2 elemen dari 4 = ⁴C₂ = 6

• Banyak cara untuk memilih 3 elemen dari 4 = ⁴C₃ = 4

• Banyak cara untuk memilih 4 elemen dari 4 = ⁴C₄ = 1                                                                                                    Total subset = 16

Lengkapilah di bawah ini:

• Banyak cara untuk memilih 0 elemen dari 5 = ⁵C₀ = 1

• Banyak cara untuk memilih 1 elemen dari 5  = ⁵C_{1 = ________}

• Banyak cara untuk memilih 2 elemen dari 5 = ⁵C₂ = _______ 

• Banyak cara untuk memilih 3 elemen dari 5 = ⁵C₃ = _______ 

• Banyak cara untuk memilih 4 elemen dari 5 = ⁵C₄ = _______              

• Banyak cara untuk memilih 4 elemen dari 5 = ⁵C₅ = _______                                                                                           Total subset = _______

Kesimpulan

Dari aktivitas kali ini kalian dapat:

• menemukan rumus untuk menentukan jumlah subset dari himpunan tertentu: Sebuah himpunan dengan elemen n memiliki subset sebanyak 2ⁿ 

• menemukan hubungan dari subset dari berbagai himpunan dengan jumlah elemen yang berbeda dengan angka dalam Segitiga Pascal.

• menemukan cara yang lebih cepat dalam menghitung dengan Kombinasi.

Dan yang lebih penting lagi kalian belajar, bagaimana cabang matematika yang berbeda dapat digabungkan dan dipelajari bersama.

Sumber: mathisfun.com