Media CT: Aplikasi Pemfaktoran Bilangan Prima

Aplikasi ini berguna untuk mencari faktor dari suatu bilangan. Bilangan yang dimasukkan harus bilangan bulat positif. Aplikasi ini bisa memproses sampai bilangan 4.294.967.296.

Just for fun, kalian bisa mencoba tanggal lahir kalian sendiri, misalnya 10/04/1993 jadi 10041993.

Read More

Media CT: Mesin Pencari Rata-Rata

Mau tahu gimana caranya mencari Rata-rata (mean)?

Read More

Media CT: Kalkulator Luas Bidang

Kalian dapat menggunakan kalkulator ini untuk mencari luas bidang datar beraturan.

Pilih bidangnya, dan masukkan nilainya.

Read More

Media CT: Kalkulator Kombinasi dan Permutasi

Dengan kalkulator ini kita dengan mudah mengetahui berapa cara terjadinya suatu kejadian.

Read More

Kombinasi: Teori Graf - Tujuh Jembatan Königsberg

Kota tua Königsberg mempunyai tujuh jembatan:

Pertanyaannya adalah bisakah kita mengunjungi setiap bagian kota dengan melewati setiap jembatan satu kali?

Pertanyaan ini dulu diberikan kepada seorang matematikawan tersohor, Leonhard Euler... tapi coba kita pecahkan sendiri!

Dan dalam aktivitas ini kita akan mempelajari sedikit tentang "Teori Graf".

Kita Sederhanakan!

Mari kita sederhanakan peta di atas menjadi seperti ini:

Terdapat 4 bagian kota - daratan sebelah utara sungai, daratan sebelah selatan sungai, pulau di tengah kota, dan daerah semenanjung (bagian kanan).

Kita beri label A, B, C dan D.

Untuk mengunjungi setiap bagian kota, kita harus mengunjungi titik A, B, C, dan D. 

Dan kita harus melewati setiap jembatan p, q, r, s, t, u, v hanya satu kali.

Dapat kita sederhanakan seperti ini:

Daripada kita mencari jawaban sambil berjalan sepanjang kota Königsberg, kita bisa mencari jawabannya dengan secarik kertas dan pensil.

Giliran Kalian!

Bisakah kalian menggambarkan setiap garis p, q, r, s, t, u, dan v dalam sekali garis, tanpa memindahkan pensil dari kertas kalian (kalian bisa mulai dari titik mana saja)?

Silahkan kalian coba dan kita lihat kemampuan kalian.

...

...

...

Apakah kalian berhasil?

Hmn... mungkin kita coba dulu bentuk yang lebih sederhana.

Cobalah bentuk-bentuk ini! (ingat: gambar semua garis dalam sekali coretan, maksudnya jangan pindahkan pensil kalian dari kertas saat membuat garis)

Catat hasil kalian di sini:

Bentuk	Berhasil?
1	Ya
2
3
4
5
6
7
8

Jadi, Bagaimana kita dapat mengetahui bentuk mana yang berhasil mana yang tidak?

Ayo kita investigasi!

Tapi pertama-tama kita harus mempelajari beberapa kata khusus:

• titik disebut sebuah simpul (tapi di sini kita akan memakai kata vertex).
• garis disebut sisi (edge).
• dan seluruh diagram disebut graf.

Ingat Graf, bukanlah bagian dari Grafik. Mirip memang tapi mereka berbeda! 
<-- Ini Grafik bukan Graf!

• Jumlah sisi yang berujung pada sebuah vertex disebut derajat.

• Lintasan mengelilingi graf dan melewati setiap vertex dalam sekali jalan disebut sirkuit simpel.
• Lintasan yang mengelilingi graf dan melewati setiap sisi dalam sekali jalan disebut sirkuit Euler.  

Contoh:

Diagram 7 memiliki:

• 5 vertex: A, B, C, D, dan E
• 8 sisi: AB, BC, CD, AD, AE, EB, AC, dan BD
• Vertex A dan B berderajat 4
• Vertex C dan D berderajat 3
• Vertex E berderajat 2

Diagram 8 memiliki:

• 6 vertex: A, B, C, D, E dan F
• 10 sisi: AB, BC, CD, AD, AE, EB, AF, BF, CF dan DF
• Vertex A, B, dan F berderajat 4
• Vertex C dan D berderajat 3
• Vertex E berderajat 2

Sirkuit Euler

OK, kita bayangkan setiap garis adalah jembatan, dan kita hanya boleh melewatinya satu kali untuk memecahkan puzzle ini jadi ...

... apa yang kita perlukan adalah sirkuit Euler.  

... dan ini ada petunjuk yang akan membantu kita: kita dapat mengenali graf mana yang memiliki sirkuit Euler dengan cara menghitung berapa banyak vertex yang memiliki derajat ganjil.

Mari kita isi tabel di bawah ini:

Bentuk	Sirkuit Euler?	Vertex	berapa banyak yang memiliki derajat genap?	berapa banyak yang memiliki derajat ganjil?
1	Yes	4	4000000040000000	000000000000000
2
3
4
5
6
7
8

Apakah kalian menemukan sebuah pola?

Selesaikan dulu investigasi kalian sampai kalian menemukan pola dari tabel, sebelum lanjut ke bagian selanjutnya!

...

...

Dan... Jawabannya adalah...

Jumlah vertex yang berderajat ganjil harus ada dua atau nol.
Jika jumlah vertex berderajat ganjil selain dua dan nol maka tidak ada sirkuit Euler pada graf tersebut.
Dan jika terdapat dua vertex yang berderajat ganjil bisa dipastikan vertex tersebut merupakan awal dan akhir dari garis lintas.

Alasannya ternyata tidak sulit untuk dipahami kok. Sebuah lintasan berawal dari sebuah vertex melalui sebuah sisi dan keluar dari sebuah sisi yang lain melalui vertex yang sama. Jadi sisi-sisi harus berpasangan (genap). Titik awal dan akhir dapat memiliki derajat ganjil walaupun hanya dapat berlaku bila vertex yang berderajat ganjil cuma dua.


Kembali Lagi ke Puzzle Jembatan Königsberg 

Vertex A, B, dan D memiliki derajat 3 dan vertex C memiliki derajat 5, jadi graf ini memiliki 4 vertex berderajat ganjil. Graf ini tidak memiliki Sirkuit Euler!

Kita telah memecahkan puzzle Jembatan Königsberg sama seperti yang Euler lakukan 300 tahun yang lalu! 

Tugas: Dari bentuk-bentuk di bawah ini, yang mana yang memiliki Sirkuit Euler?

Bentuk	Sirkuit Euler?	Vertex	berapa banyak derajat genap?	berapa banyak derajat ganjil?
9
10
11
12
13
14

Catatan Kaki:

Leonhard Euler (1707 - 1783), seorang matematikawan Swiss, merupaka salah satu matematikawan tersohor dan terproduktif sepanjang masa. Beliau banyak menghasilkan karyanya di Akademi Berlin, Jerman dan hasil pemecahan beliau tentang teka-teki "Tujuh Jembatan Königsberg" sangat terkenal pada masanya.

Kota Königsberg dilalui oleh Sungai Pregel. Dulu berada di dalam negara yang disebut bernama Prussia, sekarang dikenal sebagai Kaliningrad, Russia. Lokasi Königsberg sangat dekat dengan sungai dan memiliki 7 jembatan yang menghubungkan dua sisi sungai,juga pulau di tengah kota dan semenanjung.

Sumber: 

http://mathisfun.com

http://indriastuti90.blogspot.com/2011/06/teka-teki-jembatan-konigsberg.html 

  

Read More

Peluang: Berbagi Hari Ulang Tahun

Puzzle ini cukup rumit, jadi kalian diharapkan sudah memahami betul tentang peluang sebelum mengerjakan puzzle ini.

Di suatu ruangan terdapat 30 orang ... bagaimana peluang jika ada dua orang diantara mereka yang memiliki tanggal lahir yang sama? Asumsikan ada 365 hari dalam 1 tahun.

Kita pasti berpikir "Jika ada 30 orang dan 365 hari maka 30/365 pasti jawabannya dan 30/365= 0,08... "

Tapi ternyata tidak lho!

Peluangnya justru lebih tinggi dari yang kita pikirkan. Kemungkinan besar ada dua orang yang tanggal ulang tahunnya sama di ruangan itu.

Hal ini dikarenakan kita harus membandingkan seorang dengan yang lainnya.

dan dengan jumlah 30 orang kita memiliki 435 perbandingan 

Tapi kita harus berhati-hati jangan sampai kelebihan hitung saat menghitung peluangnya.

Jadi mari kita coba contoh yang lebih sederhana.

Teman-teman dan Angka Acak

4 sekawan (Elsa, Juno, Hendrik, Vivit) masing-masing memilih satu angka secara acak dari 1 sampai 5. Berapa peluang diantara mereka akan memilih angka yang sama?

Pertama, Berapa peluang Elsa dan Juno memilih angka yang sama?

Elsa membandingkan angka pilihannya dengan angka Juno. Itu ada 1 diantara 5 kemungkinan.

Kita gunakan diagram pohon:

Catatan: "Ya" dan "Tidak" bila dijumlahkan hasilnya 1

(1/5 + 4/5 = 5/5 =1)

Sekarang kita tambah dengan angka pilihan Hendrik...

Tapi ada dua kasus untuk kita perhitungkan:

• Jika Elsa dan Juno memilih angka yang sama, maka Hendrik hanya memiliki 1 angka untuk perbandingan.
• Jika pilihan angka Elsa dan Juno tidak sama, maka Hendrik memiliki 2 angka perbandingan.

Untuk lebih jelasnya:

Pada baris pertama (angka pilihan Elsa dan Juno sama) kita telah mendapatkan sebuah perbandingan dengan peluang 1/5.

Tapi jika "angka pilihan Elsa dan Juno tidak sama" ada 2/5 peluang angka pilihan Hendrik untuk sama (bertentangan dengan Elsa dan Juno).

Kita bisa mengkombinasikan peluang dengan mengalikan peluang yang ada:

• Jika kita mengikuti jalur "Tidak" "Ya"... ada 4/5 peluang Tidak dan 2/5 peluang Ya:

(4/5) x (2/5) = 8/25

• Jika kita mengikuti jalur "Tidak" "Tidak"... ada 4/5 peluang Tidak dan 3/5 peluang Ya:

(4/5) x (3/5) = 12/25

Perhatikan, jika kita menjumlahkan semua peluang yang ada hasilnya 1. (Silahkan dicek kembali siapa tahu perhitungan saya salah).

(5/25) + (8/25) + (12/25) = 25/25 = 1

Apa yang terjadi bila kita tambahkan pilihan Vivit?

Prinsipnya sama, cuma lebih rumit:

Ok, jadi peluang "Ya" adalah 101/125:

Jawaban: 101/125

Tapi, coba kita perhatikan sekali lagi, ada hal yang menarik ... bila kita mengikuti jalur "Tidak" kita dapat melewati semua perhitungan di atas!

Peluang tidak ada angka yang sama adalah:

(4/5) x (3/5) x (2/5) = 24/125

Sehingga peluang adanya pilihan angka yang sama adalah: 

1 - 24/125 = 101/125

(dan kita tidak perlu capek-capek membuat diagram pohon)

Itu adalah trik yang populer di peluang:

Akan lebih mudah jika kita mengerjakan bagian "Tidak ada kejadian"nya terlebih dahulu

Kita kembali lagi ke puzzle yang pertama, 30 orang dalam satu ruangan.

Contoh: Jika kita pilih 6 orang dari mereka, berapakah peluang mereka merayakan ulang tahun di bulan yang sama?

Dari kejadian "tidak ada kejadian yang sama" kita dapatkan untuk:

• 2 orang: (11/12)
• 3 orang: (11/12) x (10/12)
• 4 orang: (11/12) x (10/12) x (9/12)
• 5 orang: (11/12) x (10/12) x (9/12) x (8/12)
• 6 orang: (11/12) x (10/12) x (9/12) x (8/12) x (7/12)

Jadi peluang "tidak ada kejadian yang sama" adalah:

(11/12) x (10/12) x (9/12) x (8/12) x (7/12) = 0,22...

Sehingga kita dapat menentukan peluang "ada kejadian yang sama":

1 - 0,22... = 0,78...

Jadi, ada 78% peluang di antara 6 orang tersebut merayakan ulang tahun di bulan yang sama.

Sekarang kita coba pecahkan puzzle kita! 

Di suatu ruangan terdapat 30 orang ... bagaimana peluang jika ada dua orang diantara mereka yang memiliki tanggal lahir yang sama? Asumsikan ada 365 hari dalam 1 tahun.

Ini sama seperti contoh-contoh yang sudah kita kerjakan, hanya saja angkanya lebih besar.

Peluang "tidak ada yang tanggal lahirnya sama"

(364/365) x (363/365) x (362/365) x (361/365) x ... x (336/365) = 0,294...

(saya menghitung dengan menggunakan excel)

Dan peluang "ada yang tanggal lahirnya sama"

Peluang ada yang berbagi hari ulang tahun = 1 - 0,294... = 0,706...

atau 70.6% peluang!

Faktanya peluang dari 23 orang adalah 50%

dan untuk 57 orang peluangnya 99% (hampir pasti!)

Tugas!

Tidak percaya? Coba sekarang kalian data teman sekelas kalian, dan buktikan bahwa puzzle ini benar.

NB: Kenyataannya tanggal kelahiran tidaklah benar-benar acak (random). Di Indonesia banyak bayi lahir di bulan Juli (15,9 %) dan yang paling sedikit di bulan Februari (6,4 %). Di Amerika Serikat bayi paling banyak dilahirkan justru di bulan September, Agustus, Juli dan di musim semi (Maret, April, Mei). 

Mungkin salah satu alasannya, dokter rumah sakit biasanya libur di akhir pekan, makanya banyak ibu yang mempercepat bahkan menunda kelahiran anaknya. Hmn... Menarik bukan?  

Sumber:
http://mathisfun.com

http://blog.harmaji.com/2012/11/statistik-menarik-penduduk-indonesia.html
http://www.babycenter.com/0_surprising-facts-about-birth-in-the-united-states_1372273.bc

Read More

Kombinasi: Prinsip Dasar

Ada m cara untuk melakukan suatu hal

dan n cara untuk melakukan yang lainnya

dan m x n cara untuk melakukan keduanya.

Contohnya: Gofar mempunyai 3 kaos dan 4 celana

Itu berarti 3 x 4 = 12 kombinasi yang berbeda.

Contoh: Ada 6 rasa eskrim dan tiga wadah yang berbeda (stik, cup, dan cone)
Itu berarti 6 x 3 = 18 jenis es krim yang dapat kamu pesan.

Rumus ini dapat kita gunakan jika kita memiliki lebih dari 2 pilihan.

Misalnya: Joko ingin membeli mobil baru.

Ada 2 jenis mobil: 

sedan atau hatchback

Terdapat 5 warna yang tersedia: 

Dan terdapat 3 model:

• GL (Model Standar)
• SS (Mobil Sport dengan kapasitas mesin lebih besar)
• SL (Model Mewah dengan jok kulit) 

Ada berapa total pilihan?

Jawabannya dapat kita lihat di diagram pohon di bawah ini:

Kita bisa menghitungnya satu-satu, atau kita bisa melakukan perhitungan sederhana:

Total pilihan= 2 x 5 x 3 = 30

Bebas atau Terikat?

Ternyata perhitungan kita di atas hanya berlaku jika pilihan kita bebas (tidak terikat) satu sama lain.

Jika satu pilihan, mempengaruhi pilihan yang lain (terikat/tergantung pada pilihan lain) maka perhitungan sederhana seperti yang di atas tidak bisa digunakan.

Contoh: Joko ingin membeli mobil baru ... tapi...

salesmannya berkata: "Bapak tidak bisa memilih hatchback warna hitam karena stoknya habis" Jadi perhitungan kita pun berubah!

Sekarang Joko cuma punya 27 pilihan

Tapi kita masih bisa melakukan perhitungan:

Pilihan = (5 x 3) + (4 x 3) = 15 + 12 = 27

Read More

Data dan Statistik: Brain Teaser - Rata-Rata

Ini adalah sebuah puzzle tentang rata-rata.

Siapa yang Lebih Jago Mencetak Gol?

Saat latihan minggu lalu:

• Dari 10 kali tendangan, kamu mencetak 2 gol.
• Dari 10 kali tendangan, Fikri mencetak 3 gol.

Fikri lebih jago!

Nah, pada saat latihan minggu ini:

• Dari 100 kali tendangan, kamu mencetak 53 gol.
• Fikri, dari 10 kali tendangan mencetak 6 gol.

Fikri masih lebih jago.

Tapi kalau kita jumlahkan skor yang didapatkan dalam dua minggu:

• Kamu memiliki skor 55 dari 110 tendangan: berarti 50%
• Fikri memiliki skor 9 dari 20 tendangan: berarti 45%

Tunggu dulu, berarti kamu lebih jago dari Fikri.

Fikri lebih jago di minggu lalu dan minggu ini. Tapi kamu lebih jago di kedua minggu?

Apakah kalian sependapat? Jika tidak jelaskan pendapatmu!

...

...

Coba kalian buat tabel dan lakukan kalkulasi.

	Fikri	Kamu
Minggu Lalu
Minggu ini
Kedua Minggu

...

... Bagaimana? Kalian sudah mendapat jawabannya?

...

Itu semua ternyata benar!

Karena kamu sudah BANYAK SEKALI mencetak gol pada minggu ini, kamu menaikkan rata-rata skormu di kedua minggu dibandingkan rata-rata Fikri 

Latihan minggu lalu:

• Dari 10 kali tendangan, kamu mencetak 2 gol. (20 %)
• Dari 10 kali tendangan, Fikri mencetak 3 gol. (30 %)

Latihan minggu ini:

• kamu mencetak 53 gol dari 100 tendangan. (53 %)
• Fikri mencetak 6 gol dari 10 tendangan. (60 %)

Di kedua minggu:

• Kamu memiliki skor 55 dari 110 tendangan.(50 %)
• Fikri memiliki skor 9 dari 20 tendangan. (45%)

Untuk lebih adil, kita seharusnya membandingkan rata-rata di saat jumlah tendangan kamu dan Fikri sama jumlahnya.

Seandainya Fikri menendang 100 tendangan minggu ini, dia mungkin mencetak 60 gol, dan rata-rata skornya di kedua minggu 57 % lebih jago dibandingkan kamu.

Jadi hati-hati saat membandingkan dua kumpulan data yang memiliki perbedaan jumlah data yang sangat jauh.

Read More

Kombinasi: Subset

Aktivitas kita kali ini adalah menginvestigasi berapa banyak subset yang dimiliki oleh sebuah himpunan.

Apa itu Subset?

Subset disebut juga Himpunan Bagian, dimana merupakan sebuah himpunan yang merupakan bagian dari himpunan lain. 

A subset is a set contained in another set

Untuk lebih jelasnya, simak penjelasan di bawah ini.

Pada siang hari yang terik, kita pergi ke mini market untuk membeli es krim. Tersedia pilihan rasa es krim seperti di bawah ini:

{coklat, vanila, stroberi}

Kalian bisa memilih salah satu rasa {coklat}, {vanila}, atau {stroberi} 

atau dua rasa: {coklat, stroberi}, {stroberi, vanila}, atau {coklat, vanila},

atau ketiganya (wow... rakus sekali)

atau kalian malah tidak jadi membeli (lupa bawa uang misalnya), yang artinya kalian memiliki "himpunan kosong": { }

Contoh: Himpunan {Andre, Brian, Cindy, Danu}

memiliki himpunan bagian:

• {Andre}

• {Brian}

• dan seterusnya...

himpunan bagian (subset) lainnya:

• {Andre, Brian}

• {Andre, Cindy}

• {Brian, Danu}

• dan seterusnya...

ada juga:

• {Andre, Brian, Cindy}

• {Andre, Cindy, Danu}

• dan seterusnya...

himpunan bagian (subset)nya bisa juga:

• seluruh himpunan (whole set): {Andre, Brian, Cindy, Danu}

• himpunan kosong (empty set): { }

Sekarang kita mulai dengan Himpunan Kosong.

Himpunan Kosong

Ada berapa subset yang dimiliki himpunan kosong?

Kita bisa menjawab:

• seluruh himpunan: { }

• himpunan kosong: { }

Tunggu dulu, seluruh himpunan dan himpunan kosongnya sama.

Jadi himpunan kosong hanya memiliki 1 subset (himpunan bagian) yaitu dirinya sendiri.

Sama seperti kita ditanya saat membeli di toko, "Tidak ada barang yang tersedia, jadi apa yang Anda pilih?". Jawabannya sudah pasti "Tidak ada". Hanya itu pilihan yang ada kan?

Himpunan Satu Elemen

Himpunannya bisa apa saja, tapi kita sebut saja:

{durian}

Ada berapa banyak subset dari himpunan {durian}?

• seluruh himpunan: {durian}

• himpunan kosong: { }

Hanya itu, kita hanya bisa memilih satu elemen, atau tidak memilih sama sekali.

Jadi, himpunan yang hanya terdiri dari 1 elemen hanya memiliki 2 subset.

Himpunan Dua Elemen

Mari kita tambahkan elemen lain pada himpunan sebelumnya:

{durian, leci}

Ada berapa banyak subset dari himpunan {durian, leci}?

Bisa saja {durian}, atau {leci}, dan jangan lupa

• seluruh himpunan: {durian, leci}

• himpunan kosong: { }

Hanya itu, himpunan 2 elemen memiliki 4 subset.

Himpunan Tiga Elemen

Bagaimana dengan:

{duku, durian, leci}

OK, kita sekarang lebih sistematis sekarang, dan subset dari banyaknya elemen yang dimiliki adalah:

Subset dengan satu elemen: {duku}, {durian}, atau {leci}

Subset dengan dua elemen: {duku, durian}, {duku, leci}, {durian, leci}

dan:

• seluruh himpunan: {duku, durian, leci}

• himpunan kosong: { }

Jika disusun dalam tabel: 

	List	Jumlah subset
tidak ada elemen	{ }	1
satu elemen	{duku}, {durian}, {leci}	3
dua elemen	{duku, durian}, {duku, leci}, {durian, leci}	3
tiga elemen	{duku, durian, leci}	1
Total:		8

(Catatan: Dapatkah kalian melihat sebuah pola pada angka-angka tersebut?)

Himpunan Empat Elemen (Giliran Kalian)

Cobalah dengan menggunakan tabel juga:

{duku, durian, kurma, leci}

Dan sekarang:

	List	Jumlah subsets
tidak ada elemen	{ }
satu elemen
dua elemen
tiga elemen
empat elemen
lima elemen
Total:

(Catatan: Jika kalian dapat menjawab ini dengan tepat, kalian pasti akan menemukan sebuah pola pada angka-angka yang kalian dapatkan.)

Himpunan Lima Elemen

Coba yang satu ini:

{anggur, duku, durian, kurma, leci}

Tabel untuk kalian.

	List	Jumlah subset
tidak ada elemen	{ }
satu elemen
dua elemen
tiga elemen
empat elemen
Total:

(Adakah kalian temukan pola?)

Himpunan Enam Elemen

Dan sekarang:

{anggur, duku, durian, kurma, leci, mangga}

Sekarang kalian tidak perlu menggunakan tabel lagi, karena ...

     ... harusnya kalian sudah memahami polanya dan menemukan jawaban tanpa tabel

Penggandaan (Doubling)

Satu hal yang perlu kita perhatikan adalah:

Sebuah himpunan dengan elemen n memiliki subset sebanyak 2ⁿ

 A set with n elements has 2ⁿ subsets

Jadi kalian seharusnya sudah bisa menjawab:

• Ada berapa subset dari himpunan 6 elemen? _____________

• Ada berapa subset dari himpunan 7 elemen? _____________

Pola Lain

Mari kita review berapa banyak subset yang dimiliki setiap ukuran elemen:

• Himpunan kosong hanya punya 1 subset: 1

• Himpunan dengan satu elemen memiliki 1 subset yang merupakan himpunan kosong dan 1 subset dengan satu elemen: 1 1

• Himpunan dengan dua elemen memiliki 1 subset yang merupakan himpunan kosong dan 2 subset dengan satu elemen dan 1 subset dengan dua elemen: 1 2 1

• Himpunan dengan tiga elemen memiliki 1 subset yang merupakan himpunan kosong dan 3 subset dengan satu elemen dan 3 subset dengan dua elemen dan 1 subset dengan tiga elemen: 1 3 3 1

• dan seterusnya...

Apakah kalian mengenal pola ini?Ini adalah Segitiga Pascal!

Segitiga Pascal akan sangat berguna, jika kita ingin mencari pola dan jumlah subset.

Contoh: Dari himpunan {anggur, duku, durian, kurma, leci} kita urutkan dengan mengambil tiga elemen:

Catatan: baris dimulai dari 0, begitu juga dengan kolom.

• {anggur, duku, durian}

• {anggur, duku, kurma}

• {anggur, duku, leci}

• {anggur, durian, leci}

Mengapa cuma ada 4 subset, bagaimana jawaban yang tepat?

Ketika kita memilih 3 dari 5 elemen, kita lihat baris 5, dan kolom 3 dari Segitiga Pascal di atas (Ingat, hitung mulai dari 0) dan ternyata kita mendapatkan 10 subset.

Jawaban yang tepat adalah: {anggur, duku, durian} {anggur, duku, kurma} {anggur, duku, leci} {anggur, durian, kurma} {anggur, durian, leci} {anggur, kurma, leci} {duku, durian, kurma} {duku, durian, leci} {duku, kurma, leci} {durian, kurma, leci}

Perhitungan

Adakah cara yang lebih praktis dalam menghitung angka 1, 4, 6, 4, dan 1 (selain melihat Segitiga Pascal)?

Ya, kita dapat mencari dengan Kombinasi. 

Dari himpunan 4 elemen kita dapat menemukan:

• Banyak cara untuk memilih 0 elemen dari 4 = ⁴C₀ = 1

• Banyak cara untuk memilih 1 elemen dari 4  = ⁴C₁ = 4

• Banyak cara untuk memilih 2 elemen dari 4 = ⁴C₂ = 6

• Banyak cara untuk memilih 3 elemen dari 4 = ⁴C₃ = 4

• Banyak cara untuk memilih 4 elemen dari 4 = ⁴C₄ = 1                                                                                                    Total subset = 16

Lengkapilah di bawah ini:

• Banyak cara untuk memilih 0 elemen dari 5 = ⁵C₀ = 1

• Banyak cara untuk memilih 1 elemen dari 5  = ⁵C_{1 = ________}

• Banyak cara untuk memilih 2 elemen dari 5 = ⁵C₂ = _______ 

• Banyak cara untuk memilih 3 elemen dari 5 = ⁵C₃ = _______ 

• Banyak cara untuk memilih 4 elemen dari 5 = ⁵C₄ = _______              

• Banyak cara untuk memilih 4 elemen dari 5 = ⁵C₅ = _______                                                                                           Total subset = _______

Kesimpulan

Dari aktivitas kali ini kalian dapat:

• menemukan rumus untuk menentukan jumlah subset dari himpunan tertentu: Sebuah himpunan dengan elemen n memiliki subset sebanyak 2ⁿ 

• menemukan hubungan dari subset dari berbagai himpunan dengan jumlah elemen yang berbeda dengan angka dalam Segitiga Pascal.

• menemukan cara yang lebih cepat dalam menghitung dengan Kombinasi.

Dan yang lebih penting lagi kalian belajar, bagaimana cabang matematika yang berbeda dapat digabungkan dan dipelajari bersama.

Sumber: mathisfun.com

Read More